Question

已知函数f（x）=ln（x-1）+

1

2

x2-ax，a＞0．
（I）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）记f（x）在[2，+∞）的最小值为f（t），求t的值．

Answer 1

分析：（I）由函数的解析式，易求出函数的定义域和导函数的解析式，根据定义域和导函数的解析式，我们对a进行分类讨论，易得到f（x）存在单调递减区间时，a的取值范围；
（Ⅱ）利用导函数我们可以探讨函数的单调性，从而得到函数在[2，+∞）的最小值为f（t），继而得到t的取值．

解答：解：（I）f（x）的定义域为（1，+∞），
f'（x）=

1

x-1

+x-a=

1

x-1

+（x-1）+1-a≥2+1-a=3-a
当且仅当x=2时f′（x）取最小值3-a．
当a＞3时，3-a＜0，
f（x）存在单调递减区间；
当a≤3时，3-a≥0，不存在使得f′（x）＜0的区间
综上，a的取值范围是（3，+∞）；
（II）f'（x）=

x2-(a+1)x+a+1

x-1

，对于分子，
△=（a+1）²=4（a+1）=（a+1）（a-3），
由（I）可知，当0＜a≤3时，f（x）在（1，+∞）单调递增；
当a＞3时，△＞0，由x²-（a+1）x+a+1=0，
得x₂=

a+1- (a+1)(a-3)

2

，x2=

a+1+ (a+1)(a-3)

2

由x₁-2=

a-3- (a+1)(a-3)

2

＜0x₂-2=

a-3+ (a+1)(a-3)

2

＞0
知x₁＜2＜x₂当x∈（2，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
综上，当0＜a≤3时，t=2；当a＞3时，t=

a+1+ a2-2a-3

2

．

点评：本题考查了函数的单调性及单调区间和函数的最值，在探讨函数的最值时我们常以导数作为工具，先研究函数的单调性，然后在求其最值．本题是个中档题．