【题目】(本小题共12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.
【答案】(1)∵AD //BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD// BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.
(2).
【解析】试题分析:(1)∵AD //BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD// BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的法向量为;,,
,.
设,则,,
∵,
∴, ∴
在平面MBQ中,,,
∴ 平面MBQ法向量为.
∵二面角M-BQ-C为30,
∴.
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【题目】(2018·日照一模)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,给出下列结论:
①A、M、O三点共线;②A、M、O、A1不共面;③A、M、C、O共面;④B、B1、O、M共面.
其中正确结论的序号为________.
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【题目】正项等差数列{an}满足a1=4,且a2,a4+2,2a7-8成等比数列,{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知函数f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有两个公共点,求实数a的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)若点A在圆C上,点B(3,0),求AB中点P到原点O的距离平方的最大值.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为 .以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线交于A,B两点,当时,求的值.
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【题目】已知函数f(x)=|x-1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().
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【题目】(导学号:05856264)
已知函数f(x)=aln x,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)曲线f(x)在点A(1,f(1))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为2,求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥1-恒成立,求实数a的值取值范围.
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【题目】“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某校为帮扶困难同学,采用如下方式进行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个,红球三个,每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会,一次性从箱子中摸球三个(摸完球后将球放回),若有一个红球,奖金10元,两个红球奖金20元,三个全是红球奖金100元.
(1)求献爱心参与者中将的概率;
(2)若该次募捐900位献爱心参与者,求此次募捐所得善款的数学期望.
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