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    已知椭圆C1：数学公式和双曲线C2：数学公式有相同的焦点F1、F2，2c是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P是它们在第一象限的交点，当cos∠F1PF2=60°时，下列结论中正确的是


    1. A.
      c4+3a4=4a2c2
    2. B.
      3c4+a4=4a2c2
    3. C.
      c4+3a4=6a2c2
    4. D.
      3c4+a4=6a2c2
    A
    分析：利用椭圆、双曲线的定义，结合余弦定理，可得4c2=A2+3a2，利用离心率互为倒数，可得A=，由此可得结论．
    解答：由题意，|PF1|+|PF2|=2A，|PF1|-|PF2|=2a，则|PF1|=A+a，|PF2|=A-a
    ∵cos∠F1PF2=60°，∴4c2=（A+a）2+（A-a）2-（A+a）（A-a）=A2+3a2，
    ∵离心率互为倒数
    ∴=1
    ∴A=
    ∴4c2=+3a2，
    ∴c4+3a4=4a2c2，
    故选A．
    点评：本题考查椭圆、双曲线的定义与几何性质，考查余弦定理，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
    		2
    ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
    π
    4
    的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （1）求点P和Q的坐标；
    （2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    以抛物线y2=4
    		3
    x    的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
    （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
    1
    mn
    y    异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
    （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•湛江二模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1右支x轴上方的一点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于点D．
    （1）若a=2b，求椭圆C1及双曲线C2的离心率；
    （2）若△ACD和△PCD的面积相等，求点P的坐标（用a，b表示）．

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    科目：高中数学 来源：2012年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：=1右支x轴上方的一点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于点D．
    （1）若a=2b，求椭圆C1及双曲线C2的离心率；
    （2）若△ACD和△PCD的面积相等，求点P的坐标（用a，b表示）．

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    科目：高中数学 来源：2010年五校联合教学调研数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆C：的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1以抛物线的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
    （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
    （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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