Question

通过研究函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在实数范围内的零点个数，进一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在实数范围内的零点个数为

 

．

Answer 1

分析：对函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1进行求导，求得函数的极值，单调性，判断零点个数，对于函数g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同样的方法可得，注意计算时整体代换．

解答：解：∵函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0时，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+

1

2

x-5x²+

3

2

x-1，
=

1

2

（4x³-10x+1）-5x²+

3

2

x-1=-5x²+

3

2

x-1，
由于判别式△＜0，所以，f（x）的所有极值均是负数．
又因为当x趋向于负无穷和正无穷时均为无穷大，
所以，零点有两个．
对任意g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0时有，
g（x）=（

20

n

-10）x²+（2-

2

n

）x-1
可知n＞3时，其判别式△＜0
所以，当n为偶数时，有两个零点
n为奇数时，有3个零点，
故答案为

2，n为偶数时 3，n为奇数时

．

点评：此题是个中档题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性和极值等问题，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．