Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b²+c²=4a²．若f（A）=

3

2

，且c＞b，求角A，B，C的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）正弦函数的正周期为

2π

ω

，对称轴为ωx+φ=

π

2

+kπ，求出相应的x；
（2）由f（A）=

3

2

求出A的值，再由余弦定理得a、b、c的关系，再由正弦定理求出角A，B，C的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

sin（2x+

π

3

），即f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

12

，
∴对称轴方程为得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z．
（2）由（1）知f（A）=

3

sin（2A+

π

3

）=

3

2

，
∴sin（2A+

π

3

）=

3

2

，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

3

=

2π

3

，∴A=

π

6

∴由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=a²+2bccosA=a²+

3

bc，
又∵b²+c²=4a²，∴4a²=a²+

3

bc，

3

a2=bc，由正弦定理得

3

(sinA)2=sinBsinC，
∴sinBsin(

5π

6

-B)=

3

4

，

1

2

sinBcosB+

3

2

(sinB)2=

3

4

，

1

4

sin2B+

3

2

1-cos2B

2

=

3

4

，
得tan2B=

3

，∵0＜B＜

5π

6

，∴2B=

π

3

，或2B=

4π

3

，即B=

π

6

或B=

2π

3

，又∵c＞b，∴C＞B，
∴A=

π

6

，B=

π

6

，C=

2π

3

．

点评：本题考查三角函数的最小正周期，对称轴方程，正弦理，余弦理，三角形中大边对大角等知识点．属于中等题．