Question

已知a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，利用构造法，即可得到结论．

解答： 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴等式两边同时除以2ⁿ得，

an

2n

=

2an-1

2n

+1=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
故数列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

为首项，公差d=1的等差数列，
则

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

，
∴a_n=2ⁿ•（n-

1

2

）．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用构造法，构造等差数列是解决本题的关键．