Question

【题目】在直角梯形PBCD中， ，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且 ，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB，
又SA平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD，
（Ⅱ）在AD上取一点O，使 ，连接EO
因为 ，所以EO∥SA
因为SA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角， ．
在Rt△AHO中，
∴ ，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为
解法二：（Ⅰ）同方法一
（Ⅱ）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0， ）
∴平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为 =（x，y，z），
由 ，
所以 ，可取
所以 =（2，﹣2，1）．
所以
所以
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为


【解析】（法一）（Ⅰ）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）（三垂线法）由 考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空间向量法）（Ⅰ）同法一（Ⅱ）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为 ，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可