Question

在平面直角坐标系中，定义两点P（x₁，y₁）与Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．给出下列命题：
（1）若P（1，2），Q（sinα，cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为3-

2

；
（2）若P，Q是圆x²+y²=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2

2

；
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为

1

2

．
其中为真命题的是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（2）
• C、（3）
• D、（2）（3）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据折线距离的定义分别判断（3）个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：对于（1），d(P，Q)=|1-sinα|+|2-cosα|=3-

2

sin(α+

π

4

)，∵α∈R，∴d（P，Q）的最大值为3+

2

，故（1）不正确．
对于（2），要使d（P，Q）最大，必有P，Q两点是圆上关于原点对称的两点，可设P(

2

2

，

2

2

)Q(-

2

2

，

2

2

)，则d(P，Q)=2

2

．故（2）正确；
对于（3），设Q（x₀，2x₀），则d（P，Q）=|x₀-1|+|2x₀-3|，去掉绝对值后可知当x0=

3

2

时，d（P，Q）取得最小值

1

2

．故（3）正确．
故选D．

点评：本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．