Question

已知函数的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）∵函数的图象
在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
∴T=6π，即ω=，A=2，
∴，
又∵函数的图象在y轴上的截距为1，
∴函数图象过（0，1），
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，
得到函数y=g（x）的图象
∴
整理得：
分析：（1）由已知中函数图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．我们易求出函数的最值及周期，进而求出A，ω值，再由图象在y轴上的截距为1，，将（0，1）点代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g（x）的解析式．
点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．