Question

一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且，，求直线与双曲线方程

Answer 1

解：∵双曲线的离心率为，b²=2a²，
∴双曲线方程即：﹣=1，
设直线l方程：y=x+k，点R（0，k）
代入双曲线方程得：x²﹣2kx﹣k²﹣2a²=0，
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）则x₁+x₂=2k，则x₁x₂=﹣k²﹣2a²，
∵，∴（x₁，y₁）●（x₂，y₂）=x₁x₂+（x₁+k）●（x₂+k）=2x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=2（﹣k²﹣2a²）+k●2k+k²=k²﹣4a²=﹣3      
①，∵，∴（x₂﹣x₁，x₂﹣x₁）=4（x₂﹣0，x₂+k﹣k），∴x₁=﹣3x₂
②把②代入根与系数的关系得：x₁=3k，x₂=﹣k，k²=a²，再由①得：a=1，k=±1，
∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0 或x﹣y+1=0，
双曲线的方程：x²﹣=1．