Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+a}$
（1）若a=1，试证明函数f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为增函数；
（2）若函数f（x）为奇函数，求a的值，并判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义，导数知识即可解决；
（2）利用奇函数的定义求a的值，导数知识即可解决函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

解答 （1）证明：a=1，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
∵x＜0，f′（x）=$\frac{{2}^{x}（{4}^{x}+1）ln2-{2}^{x}•{4}^{x}ln4}{（{4}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{{2}^{x}•ln2}{（{4}^{x}+1）^{2}}$（1-4^x）＞0，
∵函数在（-∞，0）上为增函数；
（2）解：若函数f（x）为奇函数，则f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+a}$+$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+a}$=0
∴1+a•4^x+4^x+a=0，
∴a=-1，
f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}-1}$，∴f′（x）=$\frac{-{2}^{x}（{4}^{x}+1）ln2}{（{4}^{x}-1）^{2}}$，
∵x＜0，
∴f′（x）＞0，
∵函数在（-∞，0）上为增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查利用导数解决函数的单调性问题，属于中档题．