Question

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）a="12" b=﹣3 （2）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（3）（﹣∞，﹣1]∪

试题分析： （1）由极值的定义和已知条件可得b﹣c=﹣3﹣c，，即b=-3；对已知函数求导，再由，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表达式，然后对其求导，由或，可得到函数的单调增区间或减区间.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知条件式f（x）≥﹣2c²恒成立可转化为﹣3﹣c≥﹣2c²_，解得c即可.
试题解析：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3。2分
又对f（x）求导得=x³（4alnx+a+4b），
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12                      4分
（2）由（1）知f'（x）=48x³lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＜0， f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0， f（x）单调递增，
故 f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）  8分
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，
要使f（x）≥﹣2c²（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c²      10分
即2c²﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1
所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪ 12分