Question

如图，在△ABC中，B=90°，AC=

15

2

，D、E两点分别在AB、AC上．使

AD

DB

=

AE

EC

=2，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的

1

3

倍，故先求出AB的长即可；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．

解答：解：（Ⅰ）在图1中，因

AD

DB

=

AE

CE

，故BE∥BC．又因B=90°，从而AD⊥DE．

在图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．
下求DB之长．在图1中，由

AD

CB

=

AE

BC

=2，得

DE

BC

=

AD

AB

=

2

3

又已知DE=3，从而BC=

3

2

DE=

9

2

．AB=

AC2-BC2

=

( 15 2 )2-( 9 2 )2

=6．因

DB

AB

=

1

3

，故DB=2．
（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=

1

3

•

15

2

=

5

2

，
因此sinBCE=

DB

EC

=

4

5

．从而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DEsinDEF=DEsinBCE=3•

4

5

=

12

5

．
在Rt△AFD中，AD=4，tanAFD=

AD

DF

=

5

3

．
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan

5

3

．

点评：本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．