Question

5．求下列函数的值城．
（1）y=2x-$\sqrt{x-1}$；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-4x+3}{2{x}^{2}-x-1}$．

Answer 1

分析 （1）可令$\sqrt{x-1}=t$，t≥0，从而可得到y=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$，t=$\frac{1}{4}$时，y取到最小值，这样即可写出原函数的值域；
（2）原函数可变成$y=\frac{（x-1）（x-3）}{（x-1）（2x+1）}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2（2x+1）}$，从而可由x≠1，且$\frac{7}{2（2x+1）}≠0$求出y的范围，即求出原函数的值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{x-1}=t$，t≥0，则x=t²+1；
∴$y=2（{t}^{2}+1）-t=2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$$≥\frac{15}{8}$；
当t=$\frac{1}{4}$时取“=”；
∴原函数的值域为[$\frac{15}{8}$，+∞）；
（2）$y=\frac{{x}^{2}-4x+3}{2{x}^{2}-x-1}=\frac{（x-1）（x-3）}{（x-1）（2x+1）}=\frac{x-3}{2x+1}$=$\frac{\frac{1}{2}（2x+1）-\frac{7}{2}}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2（2x+1）}$；
∵x≠1，∴$y≠-\frac{2}{3}$；
又$\frac{7}{2（2x+1）}≠0$；
∴$y≠\frac{1}{2}$；
∴原函数的值域为{y|y$≠-\frac{2}{3}$，且y$≠\frac{1}{2}$}．

点评 考查函数值域的概念，以及换元求函数值域的方法，配方法求二次函数的值域，通过化简函数解析式的方法求函数的值域，分离常数法的运用，第二问不要漏了x≠1的限制．