【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)证明: (为自然对数的底)恒成立.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)取,有,即,求出(当且仅当时等号成立),问题转化为证明在上恒成立即可,设,根据函数的单调性证明即可.
(Ⅰ)解:函数的定义域为,
当时,恒成立,所以在内单调递增;
当时,令,得,所以当时,单调递增;
当时,单调递减,
综上所述,当时,在内单调递增;
当时,在内单调递增,在内单调递减
(Ⅱ)证明:由(1)可知,当时,
特别地,取,有,即,
所以(当且仅当时等号成立),因此,要证恒成立,
只要证明在上恒成立即可
设,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增.
故当时, ,即在上恒成立
因此,有,又因为两个等号不能同时成立,
所以有恒成立
或:令,则,
再令,则,
由知,存在,
使得,得,
由可证,进而得证.
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【题目】如图,四边形中,,,,,,分别在,上,,现将四边形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折叠后的线段上是否存在一点,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥的体积的最大值.
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【题目】某城市的街道是相互垂直或平行的,如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐标系,对两点和,用以下方式定义两点间距离:.如图,学校在点处,商店在点,小明家在点处,某日放学后,小明沿道路从学校匀速步行到商店,已知小明的速度是每分钟1个单位长度,设步行分钟时,小明与家的距离为个单位长度.
(1)求关于的解析式;
(2)做出中函数的图象,并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长.
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【题目】已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关,为了确定下一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的温度(单位:℃),对某种鸡的时段产蛋量(单位: )和时段投入成本(单位:万元)的影响,为此,该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.
17.40 | 82.30 | 3.6 | 140 | 9.7 | 2935.1 | 35.0 |
其中.
(1)根据散点图判断, 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型?(给判断即可,不必说明理由)
(2)若用作为回归方程模型,根据表中数据,建立关于的回归方程;
(3)已知时段投入成本与的关系为,当时段控制温度为28℃时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少?
附:①对于一组具有有线性相关关系的数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
②
0.08 | 0.47 | 2.72 | 20.09 | 1096.63 |
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