Question

（2013•温州一模）方程（x-1）•sinπx=1在（-1，3）上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄

4

．

Answer 1

分析：方程（x-1）•sinπx=1即sinπx=

1

x-1

．根据函数f（x）=sinπx和g（x）=

1

x-1

的解析式，可以得到函数的图象关于点（1，0）对称，因此sinπx=

1

x-1

．的四个根分别为x₁、x₂、x₃、x₄两两关于点（1，0）对称，因此x₁+x₂+x₃+x₄=4．

解答：解：方程（x-1）•sinπx=1即sinπx=

1

x-1

．
设函数f（x）=sinπx和g（x）=

1

x-1

．其图象如图所示．
则这两个函数的图象关于点（1，0）对称，
∵方程（x-1）•sinπx=1在（-1，3）上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=4，
故答案为：4．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的关键，属中档题．