Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+1-2sin²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到的函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）化简函数的解析式为 2sin(2x+

π

6

)，函数f（x）的最小正周期为T=π．   由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得f（x）的单调递增区间．
（2）根据条件得 4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，所以当x=

π

8

时，g(x)min=-

3

．

解答：解：（1）因为f(x)=2

3

sinxcosx+1-2sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
故 函数f（x）的最小正周期为T=π．   由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）根据条件得μ=2sin(4x+

5π

6

)，当x∈[0，

π

8

]时，4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，
所以当x=

π

8

时，g(x)min=-

3

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、值域，化简函数的解析式为 2sin(2x+

π

6

)，是解题的关键．