Question

已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．

Answer 1

分析：设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为

4a-4

a-6

=

0-4

b-6

，解得 b 的值，求得B的坐标为（

5a

a-1

，0），根据△OAB面积为 S=

10a2

a-1

，即10a²-Sa+S=0，利用判别式大于或等于零求出S的最小值，并求出此时a的值 即可得到B的坐标．

解答：解：设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为

4a-4

a-6

=

0-4

b-6

，解得 b=

5a

a-1

，
故B的坐标为（

5a

a-1

，0），故△OAB面积为 S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2

a-1

，即 10a²-Sa+S=0．
由题意可得方程 10a²-Sa+S=0 有解，故判别式△=S²-40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此时，方程为a²-4a=4=0，解得 a=2．
综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．

点评：本题主要考查直线的一般式方程的应用，直线的斜率公式，一元二次方程有解得条件，属于基础题．