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下列说法:①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[2a-1,+a+4])是偶函数,则实数b=2;②f(x)=
2009-x2
+
x2-2009
既是奇函数又是偶函数;③已知f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈[0,+∞]时,f(x)=x(1+x),则当x∈R时,f(x)=x(1+|x|);④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(x•y)=x•f(y)+y•f(x),则f(x)是奇函数.其中所有正确命题的序号是 ______.
①∵f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[2a-1,a+4])是偶函数,
则2a-1+a+4=0得a=-1,又∵f(-x)=f(x)可解得b=2;故①正确.
②将函数化简得:f(x)=0,x∈R,∴既是奇函数又是偶函数;故②正确.
③设x<0,由-x>0,又∵当x∈[0,+∞]时,f(x)=x(1+x)
∴f(-x)=-x(1-x),
又∵f(x)是定义在R上的奇函数
f(x)=-f(-x)=x(1-x)
∴当x∈R时,f(x)=x(1+|x|);故③正确.
④令x=y=0,得f(0)=0
再令x=1,y=-1,得f(-1)=f(-1)-f(1)
∴f(1)=0
再令x=y=-1,得f(1)=-f(1)-f(-1)
∴f(-1)=0
再令y=-1
得f(-x)=xf(-1)-f(x)
则,f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数.故④正确.
故答案为:①②③④
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法中:
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[2a-1,a+4])是偶函数,则实数b=2;
②f(x)表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者,则函数f(x)的最大值为1;
③若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=-6;
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(x•y)=x•f(y)+y•f(x),则f(x)是奇函数.
其中正确说法的序号是
①③④
①③④
(注:把你认为是正确的序号都填上).

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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数的零点与方程的根,下列说法:
①函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根;②函数y=x2-5x+6的零点分别为(2,0),(3,0),而方程y=x2-5x+6的根分别为x1=2,x2=3;③若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)•f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有零点;④若方程f(x)=0有解,则对应函数y=f(x)一定有零点.
其中正确的有(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

关于函数的零点与方程的根,下列说法:
①函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根;②函数y=x2-5x+6的零点分别为(2,0),(3,0),而方程y=x2-5x+6的根分别为x1=2,x2=3;③若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)•f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有零点;④若方程f(x)=0有解,则对应函数y=f(x)一定有零点.
其中正确的有(  )
A.①②B.①④C.②③D.②④

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年湖北省部分重点中学联考高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

关于函数的零点与方程的根,下列说法:
①函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根;②函数y=x2-5x+6的零点分别为(2,0),(3,0),而方程y=x2-5x+6的根分别为x1=2,x2=3;③若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)•f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有零点;④若方程f(x)=0有解,则对应函数y=f(x)一定有零点.
其中正确的有( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④

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科目:高中数学 来源:0110 期中题 题型:填空题

下列说法中:
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[2a-1,a+4])是偶函数,则实数b=2;
②f(x)表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者,则函数f(x)的最大值为1;
③如果在[-1,∞)上是减函数,则实数a的取值范围是(-8,-6];
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(x·y)=x·f(y)+y·f(x),则f(x)是奇函数;
其中正确说法的序号是(    )(注:把你认为是正确的序号都填上)。

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