【题目】已知函数(为实常数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若存在两个不相等的正数、满足,求证:.
【答案】(1)当时的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为
(2)证明见解析
【解析】
(1)求得,分和两种情况讨论,即可求解;
(2)由(1)可得当时,由两个不相等的正数、满足,不妨设,得出,结合单调性,即可求解.
(1)由题意,函数的定义域为,且,
①当时,恒有,故在上单调递增;
②当时,由得,故在上单调递增,在上单调递减;
综上①②可知当时的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)知时在上单调递增,
若,则,不合题意,
当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
若存在两个不相等的正数、满足,
则、必有一个在上,另一个在上,
不妨设,则,即,
令,
则,当且仅当是取等号,
当时,,单调递增,且,
所以时,,即,
所以,
因为,所以,
又因为在上单调递减,所以,即.
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【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“数学物理不分家,如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩,如下表:
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程。若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛,求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。(参考公式: 参考数据: )
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①的周期为;
②在上单调递增;
③函数在上有个零点;
④函数的最小值为.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
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【题目】已知函数,.
(1)若在点处的切线与直线垂直,求函数在点处的切线方程;
(2)若对于,恒成立,求正实数的取值范围;
(3)设函数,且函数有极大值点,求证:.
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【题目】已知椭圆:()的离心率,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆有两个不同的交点,时,能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______.
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【题目】如图1,在矩形中,,,为的中点,为中点.将沿折起到,使得平面平面(如图2).
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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