Question

如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2．现将△ACD沿AC折起，使平面ABD⊥平面ABC，设E为AB中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为________．

Answer 1

分析：由△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，知∠ADB=∠CBD=90°，过E点作EF∥AC，连接DE和DF，则∠DEF就是异面直线AC和DE所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC和DE所成角的余弦值．
解答：解：∵△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，
∴CB⊥BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
过E点作EF∥AC，连接DE和DF，
∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，∴AC=2，BD=2，
∴EF==，DE==2，DF=，
在△DEF中，DE=2，EF=，DF=，
根据余弦定理，得：cos∠DEF==-，
∴异面直线AC和DE所成角的余弦值为．
故答案为：．
点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．