Question

已知曲线C：y=-x²+x+2关于点M（a，2a）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，设直线AB的斜率为k，求k的取值范围．

Answer 1

分析：设出曲线Cn上的任一点，利用对称性找出该点关于M的对称点，代入曲线C后整理即可得到曲线Cn的方程，
两曲线方程联立后由判别式大于0得到a的取值范围，由根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，把纵坐标用横坐标表示后作差，整理后得到两点连线的斜率（用a表示），根据a的范围可得直线AB的斜率范围．

解答：解：设（x，y）为曲线Cn上的任一点，
（x，y）关于点M（a，2a）的对称点为（x₀，y₀），则x₀=2a-x，y₀=4a-y
依题意，点（x₀，y₀）在曲线C上∴4a-y=-（2a-x）²+2a-x+2
化简整理，得曲线Cn的方程：y=x²-（4a-1）x+4a²+2a-2
由方程组

y=-x2+x+2 y=x2-(4a-1)x+4a2+2a-2

消去y，整理得：x²-2ax+2a²+a-2=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=2a，x1x2=2a2+a-2
∵y1=-

x

2 1

+x1+2，y2=-

x

2 2

+x2+2
两式相减，得：

y1-y2=[1-(x1+x2)](x1-x2) ∵x1≠x2 ∴k= y1-y2 x1-x2 =1-(x1+x2)=1-2a

因曲线C与Cn交于不同两点，方程*应有两不等实根，∴△=4a²-4（2a²+a-2）＞0
即a²+a-2＜0
解之，得：-2＜a＜1，-1＜1-2a＜5
即AB的斜率k的取值范围是-1＜k＜5．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合题，考查了利用代入法求曲线的方程，训练了点差法求直线的斜率，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，是有一定难度题目．