Question

（1）△ABC的三边a，b，c倒数成等差数列，求证：
（2）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）反证法，假设B≥，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0．推出与已知矛盾的结果．
（2）利用放缩法以及裂项法求和证明不等式的左侧，右侧不等式利用数学归纳法证明即可．
解答：证明：（1）反证法：假设B≥．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则，
可得与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
（2）因为
=
=，
所以；
下面用数学归纳法证明：，
①当n=2时，左边=，右边=，左＜右，不等式成立．
②假设n=k（k≥2，k∈Z）不等式成立，即，
那么：，
要证，
只需证明：，
即证明：，
就是证明：（k-1）（k+1）²＜k（k²+k-1），
只需证明：k³+2k²+k-k²-2k-1＜k³+k²-k，
即证明-1＜0，这是显然成立的，
所以成立．
这就是说n=k+1时不等式也成立，
由①②可知，成立．
综上不等式恒成立．
点评：第一题使用反证法证明，注意反证法的步骤；第二题考查放缩法与数学归纳法证明不等式的基本方法，注意数学归纳法中的分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．