Question

3．已知函数$f（x）=\frac{{sin2x+2{{cos}^2}x}}{cosx}$
（Ⅰ）求f（x） 的定义域及$f（\frac{π}{4}）$ 的值；
（Ⅱ）求f（x） 在$（0，\frac{π}{2}）$ 上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数成立的条件，结合三角函数的性质进行求解即可．
（Ⅱ）将函数进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由cosx≠0，可得x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
所以f（x）的定义域为$\left\{{x\left|{x≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\right.}\right\}$，
.$f（\frac{π}{4}）=\frac{1+1}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=2\sqrt{2}$．
（Ⅱ）$f（x）=\frac{{sin2x+2{{cos}^2}x}}{cosx}$=$\frac{{2sinxcosx+2{{cos}^2}x}}{cosx}$=2sinx+2cosx=$2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
因为$x∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$．
因为函数y=sinx 在$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$ 上单调递增，
所以$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$ 时，$f（x）=2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$ 单调递增，
此时$x∈（0，\frac{π}{4}）$，
所以，函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$ 上的单调递增区间为$（0，\frac{π}{4}）$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件将函数进行化简是解决本题的关键．