Question

（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在以为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由得，.......................................... （1分）
又．........................................................ （2分）
故椭圆方程为，
椭圆经过点，则
．............................................................ （3分）
所以...............................................................  （4分）
所以椭圆的标准方程为．................................................ （5分）
（2）假设存在这样的等腰直角三角形.
明显直线的斜率存在，因为点的坐标为，设直线的方程为，则直线的方程为．.............................................................. （6分）
将的方程代入椭圆得

所以，或[
所以点的纵坐标为............................................... （7分）
所以．.............. （8分）
同理....................................... （9分）
因为是等腰直角三角形，所以，即
................................................ （10分）
即
所以，即..................................... （11分）
所以
即
所以，或..................................................... （12分）
所以，或．...................................................... （13分）
所以这样的直角三角形有三个．................................................... （14分）

解析