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有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为 $数学公式$ ；乙第一次在距离8米处投篮命中率为 $数学公式$ ，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比．
（I）求乙投篮命中的概率；
（Ⅱ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差．

解：（I）记乙三次投篮依次为事件A、B、C，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系
数为a，则由题意得： $\text{[math]}$ ，∴a=48（米），∴ $\text{[math]}$ ，
故乙投篮命中的概率为
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
（II）甲重复三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
分析：（I）由题意记乙三次投篮依次为事件A、B、C，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数为a，则由题意得： $\text{[math]}$ 解出a=48（米），又 $\text{[math]}$ ，故乙投篮命中的概率利用互斥事件及独立事件同时发生的概率公式即可求出；
（II）由题意甲重复三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即 $\text{[math]}$ ，利用符合二项分布的期望公式即可求解．
点评：本题主要考查概率与统计的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力，知识上主要考查了独立事件及互斥事件的概率公式，并且考查了符合二项分布的随机变量的期望公式及方差公式．

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