Question

4．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“＞”：已知M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），M＞N，当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．定义两点的“⊕”与“?”运算如下：M⊕N=（x₁+x₂，y₁+y₂）    M?N=x₁x₂+y₁y₂．则下面四个命题：
①已知P（2015，2014）和Q（2014，2015），则P＞Q；
②已知P（2015，2014）和Q（x，y），若P＞Q，则x≤2015，且y≤2014；
③已知P＞Q，Q＞M，则P＞M；
④已知P＞Q，则对任意的点M，都有P⊕M＞Q⊕M；
⑤已知P＞Q，则对任意的点M，都有P?M＞Q?M．
其中真命题的序号为①③④（把真命题的序号全部写出）．

Answer 1

分析 ①已知P（2015，2014）和Q（2014，2015），由于2015＞2014，即可判定出正误；
②若P＞Q，则x＜2015，或x=2015，且y＜2014，即可判断出正误；
③设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），由P＞Q，可得x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．由Q＞M，可得x₂＞x₃或x₂=x₃，y₂＞y₃．分类讨论，即可判断出正误．
④设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），则P⊕M=（x₁+x₃，y₁+y₃），Q⊕M=（x₂+x₃，y₂+y₃）；
利用P＞Q，可得x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．即可判断出正误．
⑤设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），则P?M=x₁•x₃+y₁•y₃，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃，由P＞Q，可得x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂，举反例即可判断出正误．

解答 解：①∵P（2015，2014）和Q（2014，2015），2015＞2014，则P＞Q，正确；
②已知P（2015，2014）和Q（x，y），若P＞Q，则x＜2015，或x=2015，且y＜2014，因此不正确；
③设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），∵P＞Q，∴x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．∵Q＞M，∴x₂＞x₃或x₂=x₃，y₂＞y₃．当x₁＞x₂，且x₂＞x₃，则x₁＞x₃，∴P＞M；
若x₁=x₂，y₁＞y₂．且x₂＞x₃或x₂=x₃，y₂＞y₃．同理可得P＞M．因此正确．
④设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），则P⊕M=（x₁+x₃，y₁+y₃），Q⊕M=（x₂+x₃，y₂+y₃）；
∵P＞Q，∴x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．∴x₁+x₃＞x₂+x₃或x₁+x₃=x₂+x₃，y₁+y₃＞y₂+y₃，∴对任意的点M，都有P⊕M＞Q⊕M，正确；
⑤设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），则P?M=x₁•x₃+y₁•y₃，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃，∵P＞Q，∴x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂，当x₁＞x₂时，取x₁=2，x₂=-1，x₃=-3，y₁=1，y₂=-2，y₃=-3，则P?M=x₁•x₃+y₁•y₃=-6-3=-9，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃=3+6=9，此时P?M＞Q?M不成立；当x₁=x₂，y₁＞y₂时，取x₁=2=x₂，x₃=-3，y₁=1，y₂=-2，y₃=-3，则P?M=x₁•x₃+y₁•y₃=-6-3=-9，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃=-6+6=0，此时P?M＞Q?M不成立，因此不正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了新定义“序”及其新运算，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．