Question

4．已知命题p：函数f（x）=|x-a|+x在[a²-2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的方程x²-4x+8^a=0有解．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由命题p写出分段函数，结合函数的单调性列关于a的不等式求得a的范围；由关于x的方程x²-4x+8^a=0有解，可得△≥0求得q为真命题的a的范围．然后分别由p真q假和p假q真求出a的范围，取并集得答案．

解答 解：由已知得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-a，x≥a\\ a，x＜a\end{array}\right.$，∴f（x）在[a，+∞）上单调递增．
若p为真命题，则[a²-2，+∞）⊆[a，+∞），∴a²-2≥a，解得a≤-1或a≥2；
若q为真命题，△=4²-4×8^a≥0，即8^a≤4，解得$a≤\frac{2}{3}$．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p、q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\ a＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$或$\begin{array}{l}a≥2\end{array}$，即a≥2；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜2}\\{a≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即-1$＜a≤\frac{2}{3}$．
故实数a的取值范围是（-1，$\frac{2}{3}$]∪[2，+∞）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查函数单调性的应用，是中档题．