Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1，点M，N分别是PD，PB的中点．
（I）求证：PB∥平面ACM；
（II）求证：MN⊥平面PAC；
（III）若

PF

=2

FC

，求平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明PB平行于平面ACM内的一条直线即可；
（II）先证明BD⊥平面PAC，再证明MN∥BD，即可得到结论；
（III）以A为原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面MNF的法向量、平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式即可求得平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值．

解答：（I）证明：连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，PB?平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）解：PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，故以A为原点，建立空间直角坐标系
由

PF

=2

FC

可得A(0，0，0)，M(0，

1

2

，

1

2

)，N(

1

2

，0，

1

2

)，F(

2

3

，

2

3

，

1

3

)
设平面MNF的法向量为 

n

=（x，y，z）
∵

NM

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

NF

=(

1

6

，

2

3

，-

1

6

)…（11分）
∴

- x 2 + y 2 =0 x 6 + 2y 3 - z 6 =0

，解得：

y=x z=5x

令x=1，可得

n

=（1，1，5）…（13分）
∵平面ABCD的法向量为

AP

=(0，0，1)∴cos＜

AP

，n＞=

5

27

=

5 27

27

…（14分）

点评：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，解题的关键是掌握线面平行、线面垂直的判定定理，正确运用向量法求面面角．