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    当n≥2(n∈N*)时，Sn=(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    9
    )(1-
    1
    16
    )…(1-
    1
    n2
    )，  Tn=
    n+1
    2n

    （1）求S2，S3，T2，T3；（2）猜测Sn与Tn的关系且证明．
    分析：（1）利用n=2，3，4，分别求出T2，T3，S2，S3，的值；
    （2）通过（1）的数值，猜想Sn与Tn的关系；利用数学归纳法验证n=2时猜想成立，然后假设n=k猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．
    解答：解：（1）S2=1-
    1
    4
    =
    3
    4
    ，S3=(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    9
    )=
    2
    3

    T2=
    2+1
    2×2
    =
    3
    4
    ，T3=
    3+1
    2×3
    =
    2
    3

    （2）猜想：Sn=Tn，用数学归纳法证明，
    ①n=2时，由（1）知成立；
    ②假设n=k（k≥2，k∈N）时等式处立．
    即(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    9
    )(1-
    1
    16
    )…(1-
    1
    k2
    )=
    k+1
    2k
    ，则n=k+1时，
    Sk+1=(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    9
    )(1-
    1
    16
    )…(1-
    1
    k2
    )[1-
    1
    (k+1)2
    ]

    =
    k+1
    2k
    •[1-
    1
    (k+1)2
    ]=
    (k+1)2-1
    2k(k+1)
    =
    (k+1)+1
    2(k+1)

    所以n=k+1时，等式成立，
    由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．
    点评：本题是考查数学归纳法的证明与应用，正确的猜想是数学归纳法的证明的前提，注意n=k+1证明时用上假设．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时，{xn}是周期为1的周期数列，当yn=sin(
    π
    2
    n)    时，{yn}的周期为4的周期数列．
    （1）设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同时为0），且数列{an}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
    （2）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（an+1）2．
    ①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；
    ②若anan+1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由．
    （3）设数列{an}满足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，数列{bn}的前n项和Sn，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N*都有p≤
    Sn
    n
    ≤q    成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•成都二模）已知数列{an}中，a1=
    2
    3
    ，a2=
    8
    9
    且当n≥2，n∈N时，3a n+1=4a-a n-1
    （I）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）记
    n
    i=1
    ai=a1•a2•a3…an，n∈N*
    （1）求极限
    lim
    n→∞
    n
    i=1
     （2-2 i-1）
    （2）对一切正整数n，若不等式λ
    n
    i=1
    ai＞1（λ∈N*）恒成立，求λ的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知x轴上有一点列P1，P2，P3，…，Pn，…，且当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1=1．
    （I）写出a2，a3和an（n≥2，n∈N*）的表达式；
    （II）记bn=
    an+3
    an
    (n∈N*)    ，证明：b1+b2+b3+…+bn＜
    1
    4
    (n∈N*)    ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    当n≥2(n∈N*)时，Sn=(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    9
    )(1-
    1
    16
    )…(1-
    1
    n2
    )，  Tn=
    n+1
    2n

    （1）求S2，S3，T2，T3；（2）猜测Sn与Tn的关系且证明．

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