Question

（2013•奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），且a²=b²+1，则不等式f（x）＞0的解集是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：令u（x）=a^x-b^x，利用定义判断u（x）在x∈（0，+∞）上单调增，从而得到f（x）在x∈（0，+∞）上单调增，由a²=b²+1，可得f（2）=lg（a²-b²）=lg1=0，进而得到f（x）＞0=f（2）．

解答：解：由题意可得：令u（x）=a^x-b^x，不等式即 lgu（x）＞0，
∵a＞1＞b＞0，
所以u（x）在实数集上是个增函数，且u（x）＞0，
又因为u（0）=0，
所以应有 x＞0，
∴u（x）在定义域（0，+∞）上单调增，
∴f（x）=lg（a^x-b^x）在x∈（0，+∞）上单调增．
又因为a²=b²+1，
所以f（2）=lg（a²-b²）=lg1=0，
所以f（x）＞0=f（2）
所以（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性与特殊点，由真数u（x）的单调性确定f（x）的单调性，利用特殊点lg1=0．