Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，设
（1）求椭圆C的离心率e和λ的函数关系式e=f（λ）
（2）若椭圆C的离心率e最小，且椭圆C上的动点M到定点的最远距离为，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，由此能导出．
（2）由，知，此时，则椭圆C的方程为．设M（x，y），又，则=，由此能求出椭圆C的方程．
解答：解：（1）由（2分）
△PF₁F₂，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
即（4分）
上式两边同除以（2a）²，得（5分）∴（6分）
（2）由（1）知，∵，∴∴，等号当且仅当λ=1时成立，故（8分）
此时，则椭圆C的方程为
设M（x，y），又，则=，
其中y∈[-b，b]．（l0分）
①当即时，则当时，，得a=2，
则b²=3，，满足条件．（12分）
②当即时，则当y=-b时，，得
不满足条件，舍去．综上所述，a=2，，所求椭圆C的方程为（14分）
点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用和分类讨论思想的灵活运用．