Question

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，
圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点．
（Ⅰ）过M点的直线l₁交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的

1

4

，求直线l₁的方程；
（Ⅱ）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（Ⅲ）过M点的圆的切线l₂交（Ⅱ）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）有题意及所给的图形，分析出点O到直线的距离为

2

2

，利用点到直线的距离公式列出直线关于斜率k的方程进而求解即可；
（Ⅱ）由题意，设出所求的椭圆的标准方程利用已知条件建立未知量的方程求解就行了；
（Ⅲ）由题意设出直线l₂的方程，与（Ⅱ）中的椭圆方程联立，设出点C与D的坐标，利用两点间的距离公式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵PQ为圆周的

1

4

，∴∠POQ=

π

2

．∴O点到直线l₁的距离为

2

2

．
设l₁的方程为y=k（x+2），∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，∴k2=

1

7

．∴l₁的方程为y=±

7

7

(x+2)．

（Ⅱ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，则

a2

c

=2．
∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=1．
当a=1时，c=

1

2

，b2=a2-c2=

3

4

，∴所求椭圆方程为x2+

4y2

3

=1；
当b=1时，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．

（Ⅲ）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为

x2

2

+y2=1，
在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
∴l₂的方程为y=

3

3

(x+2)，代入椭圆

x2

2

+y2=1中，整理得5x²+8x+2=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=-

8

5

，x1x2=

2

5

．∴CD=

(1+ 1 3 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 ( 64 25 - 8 5 )

=

4

5

2

．

点评：（Ⅰ）此问重点考查了方程的思想，还考查了利用已知条件建立未知量的方程及解方程的技巧；
（Ⅱ）问重点考查了方程的思想，还考查了椭圆的基本性质；
（Ⅲ）问重点考查了直线与椭圆的方程进行联立及整体代换的思想，还考查了两点间的距离公式．