【题目】已知椭圆C的中心在原点,离心率等于 ,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8 y的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,m)、Q(2,﹣m)(m>0)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为 ,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】
(1)解:设C方程为 ,则 ,
由 ,a2=b2+c2,得a=4,
∴椭圆C的方程为
(2)解:①设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为 ,
代入 ,得x2+tx+t2﹣12=0,
由△>0,解得﹣4<t<4,
由韦达定理得x1+x2=﹣t, .
∴ ,
由此可得:四边形APBQ的面积 ,
∴当t=0, .
②当∠APQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为﹣k,直线PA的直线方程为y﹣3=k(x﹣2),
由 整理得(3+4k2)x2+8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k)2﹣48=0,
∴ ,
同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k(x﹣2),
可得
∴ , , ,
所以直线AB的斜率为定值
【解析】(1)设C方程为 ,则 ,由 ,a2=b2+c2 , 解出即可得出.(2)①设A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线AB的方程为 ,代入 ,得x2+tx+t2﹣12=0,
由△>0,解得t范围,利用根与系数的关系可得|x1﹣x2|,由此可得:四边形APBQ的面积S.
②当∠APQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为﹣k,直线PA的直线方程为y﹣3=k(x﹣2),代入椭圆方程可得(3+4k2)x2+8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k)2﹣48=0,同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k(x﹣2),利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
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【题目】要制作一个如图的框架(单位:米).要求所围成的总面积为19.5(),其中是一个矩形, 是一个等腰梯形,梯形高, ,设米, 米.
(1)求关于的表达式;
(2)如何设计, 的长度,才能使所用材料最少?
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【题目】在数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,则a2013的值为( )
A.3019×22012
B.3019×22013
C.3018×22012
D.无法确定
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【题目】已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5 , 若存在两项am , an使得 =4a1 , 则 + 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.不存在
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【题目】设数列{an}的首项a1为常数,且an+1=3n﹣2an , (n∈N*)
(1)证明:{an﹣ }是等比数列;
(2)若a1= ,{an}中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由.
(3)若{an}是递增数列,求a1的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=﹣ sinx cosx+1 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若x∈[0, ],且f(x)= ,求cosx的值.
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