Question

已知函数F（x）=|cos²x+2sinxcosx-sin²x+Ax+B|
（1）若F（x）是周期函数，求A，B
（2）若F（x）在0≤x≤

3π

2

上的最大值M与A，B有关，问：A，B取何值时M最小？说明你的结论．

Answer 1

分析：F（x）解析式绝对值里边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）根据F（x）为周期函数列出关系式，即可求出A与B的值；
（2）由x的范围求出F（x）解析式中正弦函数中角度的范围，进而求出正弦函数的值域，根据F（x）的最大值M与A，B有关，即可确定出A与B的值．

解答：解：F（x）=|cos2x+sin2x+Ax+B|=|

2

sin（2x+

π

4

）+Ax+B|，
（1）若F（x）是周期函数，F（x+π）=F（x），即|

2

sin（2x+

π

4

）+Ax+B|=|

2

sin（2π+2x+

π

4

）+Ax+Aπ+B|，
可得A=0，B为任意实数；
（2）∵0≤x≤

3π

2

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

13π

4

，
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
当A=0，B=-

2

时，

2

+1≥F（x）=|

2

sin（2x+

π

4

）-

2

|≥0，此时F（x）最大值M的最小值为0．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．