【题目】已知向量 =(sin ,sin ), =(cos ,cos ),且向量 与向量 共线.
(1)求证:sin( ﹣ )=0;
(2)若记函数f(x)=sin( ﹣ ),求函数f(x)的对称轴方程;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)的值;
(4)如果已知角0<A<B<π,且A+B+C=π,满足f( )=f( )= ,求 的值.
【答案】
(1)证明:∵向量 与向量 共线,
∴sin cos ﹣sin cos =0,即sin( ﹣ )=0
(2)解:由 (k∈Z)得, ,
∴函数f(x)的对称轴方程是
(3)由f(x)=sin( ﹣ )得,函数f(x)的周期T= =4,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= =0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)=503×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+ =
(4)由f( )=f( )= 得, ,
∵0<A<B<π,∴ , ,
则 , ,
解得,A= ,B= ,
由A+B+C=π得,C= ,
∴ =2sin( )=
【解析】(1)根据向量共线的条件和两角差的正弦公式化简即可;(2)根据正弦函数的对称轴得: (k∈Z),再求出x的式子得函数f(x)的对称轴方程;(3)先由周期公式求出函数的周期,再求出一个周期内的函数值的和,然后判断出式子中共有多少个周期,再求出式子的值;(4)把条件代入解析式化简后,根据角的范围求出A、B的值,再求出C的值,代入式子根据两角和的正弦公式化简求值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识,掌握两角和与差的正弦公式:,以及对正弦函数的对称性的理解,了解正弦函数的对称性:对称中心;对称轴.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知点,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且过点;过点与直线平行的直线为, 与曲线相交于两点.
(1)求曲线上的点到直线距离的最小值;
(2)求的值.
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线: ,曲线: (为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线, 的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线: (为参数, , )分别交, 于, 两点,当取何值时, 取得最大值.
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【题目】已知平面向量 =(1,x), =(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ∥ ,求| |
(2)若 与 夹角为锐角,求x的取值范围.
(3)若| |=2,求与 垂直的单位向量 的坐标.
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【题目】设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,﹣2),C(4,1).
(1)若 = ,求D点的坐标;
(2)设向量 = , = ,若k ﹣ 与 +3 平行,求实数k的值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2Sn﹣1(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an}为等比数列;
(Ⅱ)若bn=(2n+1)an , 求{bn}的前n项和Tn .
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【题目】节能减排以来,兰州市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)估计用电量落在[220,300)中的概率是多少?
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