Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=

2

，CD=

2

2

，BC=1．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（1）求该几何体的体积V；
（2）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，问：是否存在θ，使得AD′⊥DC′．若存在，求角θ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角梯形ABCD作DE⊥AB，则作DE是圆锥的底面半径，AE是它的高，而BC和CD是圆柱的半径和母线，根据题意分别求出并代入椎体和柱体的体积公式，进行求和求出旋转体得体积；
（2）先假设存在θ满足题意，再根据AD′⊥DC′和余弦定理进行求解，求出对应一个角的余弦值大于0，与线线垂直矛盾，故证出假设不成立即不存在．

解答：解：（1）如图，
作DE⊥AB，则由已知，得DE=1，AE=AB-EB=

2

2

，
∴V=

1

3

π×12×

2

2

+π×12×

2

2

=

2 2

3

π．
（2）取BA的中点E，连DE，C′E，则∠DC′E（或其补角）就是异面直线AD′与DC′所成的角．
在△DC′E中，EC′=AD′=

6

2

，DE=CB=1，CC^'2=1+1-2cosθ=2-2cosθDC′2=DC2+CC′2=

1

2

+(1+1-2cosθ)=

5

2

-2cosθ，
∴cos∠DC′E=

DC′2+EC′2-DE2

2EC′•C′D

=

3-2cosθ

2EC′•C′D

＞0，
故不存在θ，使得AD′⊥DC′．

点评：本题是有关旋转体的综合题，需要根据题意求出几何体的几何元素的长度，再求出它的体积；对存在性问题的处理办法，一般是先假设存在再根据题意列出关系，证明结果是否有矛盾即可，考查了分析和解决问题的能力．