Question

【题目】有以下命题：
①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；
②对任意的△ABC都有等式a=bcosA+ccosB成立；
③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；
④若A，B是钝角△ABC的二锐角，则sinA+sinB＜cosA+cosB．
其中正确的命题的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①对任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα（cos2α﹣sin2α）+2sinαcos2α
=sinα（1﹣2sin2α）+2sinα（1﹣sin2α）
=3sinα﹣4sin3α，
故①正确；
②对任意的△ABC都有 =2R，
∴a=2RsinA
=2Rsin（B+C）
=2RsinBcosC+2RsinCcosB
=bcosC+ccosB，
故②正确；
③假设存在正整数k、k+1、k﹣1分别为三角形ABC的三边长，
且其对应的角分别为A、B、C，
∴ =2R，
∵B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴ = ，即cosC= + ，
又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，
∴36°＜C＜45°，
∴ ＜cosC＜ ，即 ＜ + ＜ ，
∴ ﹣ ＜ ＜ ﹣ ，
∴ +1＜k﹣1＜ 2，
∴ +2＜k＜ 3，
∴k=4或k=5，
经检验可知当k=5时不满足题意，
故③正确；
④∵A，B是钝角△ABC的二锐角，
∴A+B＜90°，
∴0°＜B＜90°﹣A＜90°，
∴sinB＜sin（90°﹣A）=cosB，
同理cosA＞cos（90°﹣B）=sinA，
∴sinA+sinB＜cosA+cosB，
故④正确；
故选：A．
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．