Question

19．锐角三角形ABC中，$S=\frac{{c}^{2}-（{a}^{2}-{b}^{2}）}{4k}$，c既不为最大边也不为最小边，则k的取值范围是（$\sqrt{2}$-1，1）．

Answer 1

分析 先根据余弦定理和面积公式表示出$S=\frac{{{c^2}-{{（a-b）}^2}}}{4k}$，得到关于C的关系式，再由万能公式和角C的范围确定答案．

解答 解：∵c既不为最大边也不为最小边，
∴C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，
∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴$S=\frac{{{c^2}-{{（a-b）}^2}}}{4k}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}+2ab}{4k}$=$\frac{2ab-2abcosC}{4k}$=$\frac{ab（1-cosC）}{2k}$，
又S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴sinC=$\frac{1-cosC}{k}$，
则k=$\frac{1-cosC}{sinC}$=$\frac{1-（1-2si{n}^{2}\frac{C}{2}）}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{C}{2}}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=tan$\frac{C}{2}$，
∵锐角三角形ABC中C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，
∴45°＜C＜90°，$\frac{45°}{2}$＜$\frac{C}{2}$＜45°
∴$\sqrt{2}$-1＜tan$\frac{C}{2}$＜1，
∴$\sqrt{2}$-1＜k＜1
故答案为：（$\sqrt{2}$-1，1）

点评 本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，利用正弦定理和余弦定理结合三角函数的倍角公式是解决本题的关键．