Question

7．已知四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，E是SC中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD，OF⊥SB，垂足为F
（1）求异面直线EO与BC所成的角．
（2）求证：平面AFC⊥平面SBC．

Answer 1

分析 （1）要求两条异面直线所成角，利用两异面直线所成角的定义，在平面ABCD内，过O作OH⊥DC于H，连接EH，可得∠OHE为异面直线EO与BC所成的角，然后通过求解直角三角形得答案；
（2）证明平面AFC⊥平面SBC，可证平面SBC经过平面AFC的一条垂线SB，利用已知条件结合线面垂直的判断和性质证明SB⊥平面AFC，则问题得证．

解答 （1）解：在平面ABCD内，过O作OH⊥DC于H，连接EH，
∵O为底面正方形ABCD的中心，∴H为CD的中点，
又E为SC的中点，则EH∥SD，
∵SD⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，则EH⊥OH，
设AB=a，∵AB=SD，
则OH=HE=$\frac{a}{2}$，
在Rt△OHE中，由OH=HE=$\frac{a}{2}$，得∠OHE=$\frac{π}{4}$，
∴异面直线EO与BC所成的角为$\frac{π}{4}$；
（2）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，
又AC⊥BD，且SD∩BD=D，∴AC⊥平面SDB，则AC⊥SB，
又OF⊥SB，OF∩AC=O，∴SB⊥平面AFC．
而SB?平面SBC，
则平面AFC⊥平面SBC．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查了平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．