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精英家教网已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过点(p,q),离心率e=
3
2
.其中p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A'.①试建立△AOB的面积关于m的函数关系;②莆田十中高三(1)班数学兴趣小组通过试验操作初步推断:“当m变化时,直线A'B与x轴交于一个定点”.你认为此推断是否正确?若正确,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不正确,请说明理由.
分析:(1)由p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差,可知椭圆过点(0,1),又离心率e=
3
2
,从而可求椭圆C的方程;
(2)①将直线x=my+1与椭圆C联立,易求S=
1
2
|y1-y2
=
2
m2+4
m2+3
; ②取特殊点A′(0,1),B(
8
5
3
5
)
,直线A′B:x+4y-4=0与x轴的交点为S(4,0),猜想直线A′B与x轴交于定点S(4,0),再进行证明.
解答:解:(1)依题意椭圆过点(0,1),从而可得
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
(2分)
解得a=2,b=1.(3分),所以椭圆C的方程是
x2
4
+y2=1
.(4分)
(2)①由
x2
4
+y2=1
x=my+1
得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.(5分)
记A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(x1,-y1),且y1+y2=-
2m
m2+4
y1y2=-
3
m2+4
.(6分),易求S=
1
2
|y1-y2
=
2
m2+4
m2+3
(8分)                                         
②特别地,令y1=-1,则x1=0,m=1,y2=
3
5

此时A′(0,1),B(
8
5
3
5
)
,直线A′B:x+4y-4=0与x轴的交点为S(4,0)
若直线A′B与x轴交于一个定点,则定点只能为S(4,0)(9分)
以下证明对于任意的m,直线A′B与x轴交于定点S(4,0)
事实上,经过点A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为
y+y1
y2+y1
=
x-x1
x2-x1

令y=0,得x=
x2-x1
y2+y1
y1+x1

只需证明
(x2-x1)y1
y2+y1
+x1=4,(11分)
x2=my2+1,x1=my1+1
∴即证
m(y2-y1)y1
y2+y1
+my1-3=0
,即证2my1y2-3(y1+y2)=0.
因为2my1y2-3(y1+y2)=
-6m
m2+4
-
-6m
m2+4
=0
,所以2my1y2-3(y1+y2)=0成立.
这说明,当m变化时,直线A′B与x轴交于点S(4,0)(13分)
点评:本题主要考查椭圆标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,对于恒过定点问题,通常先猜后证,主要细细体会.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

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