Question

已知点P是椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1上的动点，F₁，F₂分别为左、右焦点，O为坐标原点，则

||PF1|-|PF2||

|OP|

的取值范围是（　　）

• A、[0，

  2

  2

  ]
• B、[0，2）
• C、(

  1

  2

  ，

  2

  2

  ]
• D、[0，

  2

  ]

Answer 1

分析：根据三角中线的性质可知

OP

=-

PF1 + PF2

2

，代入

||PF1|-|PF2||

|OP|

中，根据当点P在短轴端点时||PF₁|-PF₂||的值最小；当点P在长轴端点时||PF₁|-PF₂||的值最大，进而求得答案．

解答：解：O为F₁F₂的中点
∴

OP

=-

PF1 + PF2

2

∴

||PF1|-|PF2||

|OP|

=

||PF 1|-|PF 2||

|PF 1|+|PF 2| 2

=

||PF 1|-|PF 2||

2

∵当点P在短轴端点时，|PF₁|=|PF₂|．||PF₁|-PF₂||的值最小为0
当点P在长轴端点时||PF₁|-PF₂||的值最大为4
∴

||PF1|-|PF2||

|OP|

的取值范围是[0，

2

]
故选D

点评：本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了三角形中线的性质．若AD是△ABC的中线，则

AB

+

AC

=2

AD

．