Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞π），在同一周期内，当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3；当x=

7

12

π时，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[-

π

3

，

π

6

]时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得A=3，根据周期T=2（

7π

12

-

π

12

）=

2π

ω

，求得ω=2．由2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ的值，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）函数y=sin（2x+

π

3

）的图象和直线y=

m-1

6

在[-

π

3

，

π

6

]上有2个交点，再由 2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，y=sin（2x+

π

3

）的图象可得

m-1

6

∈[

3

2

，1），由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得A=3，周期T=2（

7π

12

-

π

12

 ）=

2π

ω

，∴ω=2．
由2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ=

π

3

，故函数f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
 故函数的减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（Ⅲ）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，故 sin（2x+

π

3

）=

m-1

6

 有2个实数根．
即函数y=sin（2x+

π

3

）的图象和直线y=

m-1

6

有2个交点．
再由 2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，结合函数y=sin（2x+

π

3

）的图象可得 

m-1

6

∈[

3

2

，1），解得 m∈[3

3

+1，7），
即 实数m的取值范围是[3

3

+1，7）．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．