Question

20．已知定点Q（$\sqrt{3}$，0），P为圆N：${（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=24$上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．
（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M （x，y） 的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆N的圆心坐标为N（$-\sqrt{3}$，0），半径为$2\sqrt{6}$，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=$2\sqrt{6}$＞|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=6\\ y=kx+m\end{array}\right.$消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意可得：圆N的圆心坐标为N（$-\sqrt{3}$，0），半径为$2\sqrt{6}$，|MP|=|MQ|，…（1分）
则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=$2\sqrt{6}$＞|NQ|…（2分）
根据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为$2\sqrt{6}$的椭圆，
即2a=$2\sqrt{6}$，2c=$2\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$．…（3分）
所以点M的轨迹C的方程为：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，
得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=6\\ y=kx+m\end{array}\right.$消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．…（6分）
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，化简得：m²＜6k²+3①…（7分）
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}，\;\;\;{x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$．…（8分）
∴${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）=\frac{{{m^2}-6{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{{2{m^2}-6}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-6{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，…（9分）
整理得m²=2k²+2满足①式，∴$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，即原点到直线l为的距离是$\sqrt{2}$，
∴直线l与圆x²+y²=2相切．…（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，$\sqrt{\frac{{6-{m^2}}}{2}}$），B（m，$-\sqrt{\frac{{6-{m^2}}}{2}}$）∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴${m^2}-3+\frac{m^2}{2}=0⇒m=±\sqrt{2}$．
此时直线为x=$±\sqrt{2}$，显然也与圆x²+y²=2相切．…（11分）
综上，直线l与定圆E：x²+y²=2相切．…（12分）

点评 本题考查圆锥曲线的综合应用，轨迹方程的求法，直线与椭圆以及直线与圆的群众关心的应用，考查转化思想以及计算能力．