Question

如图所示，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，

∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点.

求证：

（1）DE∥平面ABC；

（2）B₁F⊥平面AEF.

Answer 1

证明略

解析:

  方法一  如图建立空间直角坐标系A—xyz，

令AB=AA₁=4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4）.

（1）取AB中点为N，则N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），                3分

∴=（-2，4，0），=（-2，4，0），

∴=，                                                                                     4分

∴DE∥NC，又NC平面ABC，DE平面ABC.

故DE∥平面ABC.                                                                                           6分

（2）=（-2，2，-4），

=（2，-2，-2），=（2，2，0）.

·=（-2）×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,

则⊥,∴B₁F⊥EF,                                                                           10分

∵·=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0.

∴⊥，即B₁F⊥AF，                                                                           12分

又∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                                          14分

方法二  （1）连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP.由E为C₁C的中点且A₁C₁∥CP，可证A₁E=EP.

∵D、E分别是A₁B、A₁P的中点，

所以DE∥BP.                                                               4分

又∵BP平面ABC，

DE平面ABC，

∴DE∥平面ABC.                                                         6分

（2）∵△ABC为等腰三角形，F为BC的中点，

∴BC⊥AF，                                                                 8分

又∵B₁B⊥AF，B₁B∩BC=B，∴AF⊥平面B₁BF，

而B₁F平面B₁BF，

∴AF⊥B₁F.                                                                  10分

设AB=A₁A=a，

则B₁F²=a²，EF²=a²，

B₁E²=a²，

∴B₁F²+EF²=B₁E²，B₁F⊥FE.                                               12分

又AF∩FE=F，综上知B₁F⊥平面AEF.                                14分