Question

设n为正整数，已知P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，p_n（a_n，b_n），…都在函数y=(

1

2

)x的图象上．其中数列{a_n}是首项、公差都为1的等差数列，数列{c_n}的通项为c_n=a_nb_n
（1）证明：数列{b_n}是等比数列，并求出公比；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由点在图象上，则有 bn=(

1

2

)an，由等比数列的定义，则有

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d从而得到结论．
（2）有a_n=n，bn=(

1

2

)n，得cn=n•(

1

2

)n，Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，再由错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是首项、公差都为1的等差数列，
由已知 bn=(

1

2

)an=(

1

2

)n，
所以，

bn+1

bn

=

( 1 2 )n+1

( 1 2 )n

=

1

2

，
所以，数列{b_n}是等比数列．
（2）∵a_n=n，bn=(

1

2

)n，
∴cn=n•(

1

2

)n，
∴Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，
 

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1，
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1
=1-(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
∴Sn=2-(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n．

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了点与曲线的关系，数列的定义，及错位相减求和法的应用．