Question

函数y=

x-x3

1+2x2+x4

的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：先把函数表达式变形，y=

x-x3

1+2x2+x4

=

x(1-x2)

(1+x2)2

=

1

2

（

2x

1+x2

）（

1-x2

1+x2

），令x=tan

θ

2

，则y=

1

2

sinθ•cosθ=

1

4

sin2θ，利用三角函数求值域．

解答： 解：y=

x-x3

1+2x2+x4

=

x(1-x2)

(1+x2)2

=

1

2

（

2x

1+x2

）（

1-x2

1+x2

），
令x=tan

θ

2

，∴y=

1

2

sinθ•cosθ=

1

4

sin2θ
∵-

1

4

≤

1

4

sin2θ≤

1

4

∴函数的值域为[-

1

4

，

1

4

]
故答案为：[-

1

4

，

1

4

]

点评：本题主要考查求函数的值域，换元法可以起到化繁为简的功效，同时要注意函数的恒等变形．