Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-2，2]）的图象过原点，且在x=±1处的切线的倾斜角均为，现有以下三个命题：
①f（x）=x³-4x（x∈[-2，2]）；
②f（x）的极值点有且只有一个；　　　　　
③f（x）的最大值与最小值之和为零．
其中真命题的序号是________．

Answer 1

①③
分析：先根据已知条件，列出关于a、b、c的方程组并解之得a=0，b=-4，c=0，由此得到①是真命题；对函数进行求导数运算，可得在区间[-2，2]上导数有两个零点，函数也就有两个极值点，故②为假命题；根据函数为奇函数，结合奇函数的图象与性质可得f（x）的最大值与最小值之和为零，故③为真命题．由此可得正确答案．
解答：∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-2，2]）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，得f（x）=x³+ax²+bx
对函数求导数，得f'（x）=3x²+2ax+b，结合题意知f'（1）=f'（-1）=tan=-1
∴3+2a+b=3-2a+b=-1，解之得a=0，b=-4，
对于①，函数解析式为f（x）=x³-4x（x∈[-2，2]），故①是真命题；
对于②，因为f'（x）=3x²-4=3（x+）（x-），f'（x）在区间[-2，2]上有两个零点，
故f（x）的极值点有两个，得②为假命题；
对于③，因为函数f（x）=x³-4x是奇函数，所以若它在[-2，2]上的最大值为f（m）=M，则它在[-2，2]上的最小值必为f（-m）=-M，
所以f（x）的最大值与最小值之和为零，③是真命题．
故答案为：①③
点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的奇偶性、用导数切线的斜率和函数极值的求法等知识点，属于基础题．