Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω是常数，A＞0，ω＞0，φ是锐角）的部分图象如图所示，其中f(

π

3

)=0，f(

7π

12

)=-

2

=f(x)min．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象先向右平移

φ

ω

个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω倍，得到函数g（x）的图象，试写出函数g（x）的解析式；
（3）若存在x0∈(0，

π

4

)，使得g(x0)+acosx0=2

2

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得A，ω，φ；
（2）由（1）得

φ

ω

=

π

6

，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得g（x）的解析式；
（3）若存在x₀∈（0，

π

4

），使得

2

sinx₀+acosx₀=2

2

成立，可求得a=

2 (2-sinx0)

cosx0

=h（x₀），可以求导h′（x₀）求得a的最大值与最小值，从而得到答案．

解答：解：（1）由图可知，A=

2

，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
∴T=π，故ω=2；
又f（

π

3

）=0，由图可知，2×

π

3

+φ=π，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，得到函数y=

2

sin[2（x+

π

6

-

π

6

）]=

2

sin2x；
再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）=

2

sinx；
（3）若存在x₀∈（0，

π

4

），使得

2

sinx₀+acosx₀=2

2

成立．
a=

2 (2-sinx0)

cosx0

=h（x₀），x₀∈（0，

π

4

），
可以求导h′（x₀）=

2sinx0-1

cos2x0

，得：
h（x₀）在（0，

π

6

）递减，[

π

6

，

π

4

）递增；
h（

π

6

）=

6

，h（0）=2

2

，h（

π

4

）=4-

2

．
所求实数a的取值范围是[6，2

2

]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于难题．