Question

18．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在[-2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）得到m=-x³-x²+x有三个互不相等的实数根，令g（x）=-x³-x²+x，根据函数的单调性求出g（x）的最大值和最小值，从而求出m的范围即可；
（2）求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最大值，问题转化为-8+4a+2a²+m≤1，根据a的范围，求出m的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时f（x）=x³+x²-x+m．
∵函数f（x）有三个互不相同的零点，
∴x³+x²-x+m=0即m=-x³-x²+x有三个互不相等的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，
则g′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）•（x+1），
∴g（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}$，+∞）上均为减函数，在（-1，$\frac{1}{3}$）上为增函数，
∴g（x）_极小值=g（-1）=-1，_{^g（x）极大值}=$\frac{5}{27}$，
∴m的取值范围是（-1，$\frac{5}{27}$）；
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-$\frac{a}{3}$）（x+a），且a＞0，
∴当x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$时，f′（x）＞0；
当-a＜x＜$\frac{a}{3}$时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}$，+∞），单调递减区间为（-a，$\frac{a}{3}$）．
当a∈[3，6]时，$\frac{a}{3}$∈[1，2]，-a≤-3．又x∈[-2，2]，
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}，
又f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m．
又∵f（x）≤1在上恒成立，
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1，
即当a∈[3，6]时，m≤9-4a-2a²恒成立．
∵9-4a-2a²在上的最小值为-87，
∴m的取值范围是（-∞，-87]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．